大楚兴,陈胜王
线性代数概要与提高
基础定义
- 线性方程组
- 二次型f(x)=XTAX
- 相似对角化∃P∈Fn×n,P−1AP=diag(λ1,⋯,λn)
分块矩阵☀️
- 分块矩阵乘法法则:如果把每个分块视为数的乘法和每个分块见的乘法均成立,则分块矩阵乘法成立。
- 准三角矩阵和的对角线上如果都 是方阵,则整个矩阵也是方阵,行列式是对角线上各个子阵的乘积
- 分块矩阵的转置等于各个分块转置后再分别转置的结果。
矩阵乘法例题⭐️
设P1,P2∈Cn×n,P12=P1,P22=P2
求证:(P1+P2)2=P1+P2⟺P1P2=P2P1=0
证明:
⇐:
显然
⇒:
(P1+P2)2=P1+P2⇒P1P2+P2P1=0⇒P1P2=−P2P1⇒P1P2=P1(P2P2)=(P1P2)P2=−P2(P1P2)=P2P1⇒P1P2=P2P1=0
右线性空间
如果以下条件皆成立:
- +满足结合律
- +满足交换律
- 数乘对+满足分配律(2种)
- 数乘对⋅满足结合律
- 零元可由0的数乘获得
- 1⋅α=α
- 数乘时数在右边
则称(V,+,⋅)构成一个右线性空间
其它空间
- 数列空间FN={定义在N上,在F上取值的数列全体}
- 多项式空间F[X]={系数在F的多项式全体}
基底与坐标
若V为F上的右线性空间,若存在正整数n和ε1,⋯,εn∈V使得∀α∈V,∃k1⋯kn∈F,∑εiki=α则称ε1,⋯,εn是一组基底,(k1,⋯,kn)T为该基底下的坐标
基底变换
设E1,E2均为V的基底,如果E2=E1P, 称P为E1到E2的过渡矩阵
α=(ε1⋯εn)x1⋮xn=(ε1′⋯εn′)x1′⋮xn′=(ε1⋯εn)Px1′⋮xn′
线性子空间
如果V的子集W对假发和数乘封闭,则称W为V的一个线性子空间,记作W≤V
- 最小的子空间{0},最大子空间V
- 0维只有一个子空间,1维两个,2维及以上子空间相当于超平面,有无数个
生成子空间
设S{α1,⋯,αr}≤V则Spm(S)=<S>={α1λ1,⋯,αrλr}是V中包含S的最小线性子空间,称为S生成的子空间。
交与和
- V1+V2={α+β∣α,β∈V1∪V2}
- dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)=dim(V1)+dim(V2)
- 直和分解:如果V中任意元素可以唯一写为β1+β2的形式,其中β1∈W1,β2∈W2则称W1+W2=V为一个直和分解
- 如果V1≤V2≤V,则dim(V1)≤dim(V2)≤dim(V)后者等号成立当且仅当前者等号成立
内积空间
设V是F上的右线性空间,如果映射<,>:V×V→F满足
- <β,α>=<α,β>
- <α,α>≥0且等号成立当且仅当α=θv
- 关于第二个分量线性
则称<,>是V上的F内积,(V,<,>)构成一个F-内积空间,又称欧几里得空间或酉空间。
操作符<,>仅在陈氏矩阵分析中使用,与一般的(,)等效,其效果是增加了使用latex描述陈氏矩阵分析的复杂性。θv表示零元,似乎也仅见于陈氏矩阵分析。
另外,关于第一个分量有:
<α1λ1+α2λ2,β>=<α1,β>λ1+<α2,β>λ2
勾股定理
<α,β>=0⇔α⊥β
- 此时如果令γ=α+β
有<γ,γ>=<α,α>+<β,β>
- 定义∣∣α∣∣=<α,α>为α在<,>下的长度
- 定义d(α,β)=∣∣α−β∣∣为距离
柯西不等式
∣∣β∣∣∣∣α∣∣≥∣<α,β>∣
度量矩阵与标准正交基
称基底E[]=ε1,⋯,εn对应的矩阵
Mn×n=<ε1,ε1>⋮<εn,ε1>⋯⋱⋯<ε1,εn>⋮<εn,εn>
为度量矩阵。
当M=I时,称E[]为一组单位正交基
内积的证明例题⭐️
设V=Fn×n,<⋅,⋅>:V×V→F,(A,B)↦tr(AHB),求证<⋅,⋅>是内积
解:
<A,B>=<B,A>:
<A,B>=tr(AHB)=tr((AHB)T)=tr(BHA)=tr(BHA)=<B,A>
<A,A>≥0且等号成立当且仅当α=θv:
设A={ak,j+bk,ji}n×n,a,b∈R,i虚数单位,则
<A,A>=tr(AHA)=x=1∑ny=1∑n(ax,y2+bx,y2)≥0
取等号当且仅当ax,y=bx,y=0,即A=θV
关于第二个分量线性:
<A,B>+<A,C>=tr(AHB)+tr(AHC)=tr(AHB+AHC)=tr(AH(B+C))=<A,(B+C)>
<A,B>λ=tr(AHB)⋅λ=tr(AHB⋅λ)=<A,Bλ>
线性映射⭐️
- 如果映射是线性的,就叫线性映射
- 线性自映射又叫线性算子
- 零元对齐
线性映射例题⭐️
设V={e2x(bx+c)∣b,c∈C},A:V→V,f(x)↦f′(x),求其矩阵表示及Jordan标准型
解:
考虑到e2x(bx+c)=bxe2x+ce2x,(e2x(bx+c))′=2bxe2x+(2c+b)e2x,取基底ξ1=xe2x,ξ2=e2x,则该基底下坐标f(x)=(b,c)T,f′(x)=(2b,2c+b)T,从而
A=(2102)
其特征多项式∣Ix−A∣=(x−2)2,求得特征值λ=2,代数重数2,几何重数1,故A的Jordan标准型为J2(2)
像空间和核空间
- Im(f)={f(α)∣α∈V1}≤V2
- Ker(f)={α∈V1∣f(α)=θV2≤V1
- Ker(f)={θV1}当且仅当f为单射
- 线性双射又称线性同构,此时称两个线性空间同构,记作V1φ≅V2
矩阵表示
- 有限维的线性空间间的线性映射可用矩阵表示。取V1的基底α1,⋯,αn和V2的基底β1,⋯,βm,则对于映射φ:V1→V2和α∈V1,如果φ(α)=(β1,⋯,βm)AX则称A是φ在这两组基下的矩阵表示
- 换底时,对于AP=A′,BQ=B′,对应的A有A′=Q−1AP,此时称A‘和A是相抵的,记作A∼A′
- ∼是一个等价关系,相抵的矩阵有相等的秩
- 特别地,当φ是线性算子,且P=Q有A′=P−1AP,称A′与A相似
子空间的正交补
设内积空间V,有子空间W≤V
则