矩阵分析复习笔记

大楚兴，陈胜王

线性代数概要与提高

基础定义

1. 线性方程组
2. 二次型$f(x)=X^TAX$
3. 相似对角化$\exist P\in \mathbb{F}^{n\times n},P^{-1}AP=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$

分块矩阵☀️

• 分块矩阵乘法法则：如果把每个分块视为数的乘法和每个分块见的乘法均成立，则分块矩阵乘法成立。
• 准三角矩阵和的对角线上如果都是方阵，则整个矩阵也是方阵，行列式是对角线上各个子阵的乘积
• 分块矩阵的转置等于各个分块转置后再分别转置的结果。

矩阵乘法例题⭐️

设$P_1,P_2\in \mathbb C^{n\times n},P_1^2=P_1,P_2^2=P_2$

求证：$(P_1+P_2)^2=P_1+P_2\iff P_1P_2=P_2P_1=0$

证明：

$\lArr$：

显然

$\rArr$：

$$(P_1+P_2)^2=P_1+P_2\\ \rArr P_1P_2+P_2P_1=0\\ \rArr P_1P_2=-P_2P_1\\ \rArr P_1P_2=P_1(P_2P_2)=(P_1P_2)P_2=\\-P_2(P_1P_2)=P_2P_1\\ \rArr P_1P_2=P_2P_1=0$$

右线性空间

如果以下条件皆成立：

1. +满足结合律
2. +满足交换律
3. 数乘对+满足分配律（2种）
4. 数乘对$\cdot$满足结合律
5. 零元可由0的数乘获得
6. $1\cdot \alpha=\alpha$
7. 数乘时数在右边

则称$(V,+,\cdot)$构成一个右线性空间

其它空间

1. 数列空间$\mathbb{F}^\mathbb{N}=\{定义在\mathbb{N}上，在\mathbb{F}上取值的数列全体\}$
2. 多项式空间$\mathbb{F}[X]=\{系数在\mathbb{F}的多项式全体\}$

基底与坐标

若V为$\mathbb{F}$上的右线性空间，若存在正整数$n$和$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n\in V$使得$\forall\alpha\in V,\exists k_1\cdots k_n\in \mathbb{F},\sum\varepsilon_ik_i=\alpha$则称$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$是一组基底，$(k_1,\cdots, k_n)^T$为该基底下的坐标

基底变换

设$E_1,E_2$均为V的基底，如果$E_2=E_1P$, 称P为$E_1$到$E_2$的过渡矩阵

$$\alpha= \begin{pmatrix} \varepsilon_1& \cdots& \varepsilon_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \varepsilon_1'& \cdots& \varepsilon_n'\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1'\\ \vdots\\ x_n' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \varepsilon_1& \cdots& \varepsilon_n\\ \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} x_1'\\ \vdots\\ x_n' \end{pmatrix}$$

线性子空间

如果V的子集W对假发和数乘封闭，则称W为V的一个线性子空间，记作$W\le V$

• 最小的子空间$\{0\}$，最大子空间V
• 0维只有一个子空间，1维两个，2维及以上子空间相当于超平面，有无数个

生成子空间

设$S\{\alpha_1,\cdots,\alpha_r\}\le V$则$Spm(S)=\lt S\gt =\{\alpha_1\lambda_1,\cdots,\alpha_r\lambda_r\}$是V中包含S的最小线性子空间，称为S生成的子空间。

交与和

• $V_1+V_2=\{\alpha+\beta|\alpha,\beta\in V_1\cup V_2\}$
• $dim(V_1+V_2)+dim(V_1\cap V_2)=dim(V_1)+dim(V_2)$
• 直和分解：如果$V$中任意元素可以唯一写为$\beta_1+\beta_2$的形式，其中$\beta_1\in W_1,\beta_2\in W_2$则称$W_1+W_2=V$为一个直和分解
• 如果$V_1\le V_2\le V$，则$dim(V_1)\le dim(V_2)\le dim(V)$后者等号成立当且仅当前者等号成立

内积空间

设V是$\mathbb F$上的右线性空间，如果映射$\lt,\gt:V\times V\rarr \mathbb F$满足

1. $\lt \beta ,\alpha \gt=\overline{\lt \alpha,\beta\gt}$
2. $\lt\alpha,\alpha\gt\ge 0$且等号成立当且仅当$\alpha = \theta_v$
3. 关于第二个分量线性

则称$\lt,\gt$是$V$上的$\mathbb F$内积，$(V,\lt,\gt)$构成一个$\mathbb{F}$-内积空间，又称欧几里得空间或酉空间。

操作符$\lt,\gt$仅在陈氏矩阵分析中使用，与一般的$(,)$等效，其效果是增加了使用latex描述陈氏矩阵分析的复杂性。$\theta_v$表示零元，似乎也仅见于陈氏矩阵分析。

另外，关于第一个分量有:

$$\lt\alpha_1\lambda_1+\alpha_2\lambda_2,\beta\gt=\lt\alpha_1,\beta\gt\overline{\lambda_1}+\lt\alpha_2,\beta\gt\overline{\lambda_2}$$

勾股定理

$$\lt\alpha,\beta\gt=0\lrArr \alpha\bot\beta$$

• 此时如果令$\gamma=\alpha+\beta$ 有$\lt\gamma,\gamma\gt=\lt\alpha,\alpha\gt+\lt\beta,\beta\gt$
• 定义$||\alpha||=\sqrt{\lt\alpha,\alpha\gt}$为$\alpha$在$\lt,\gt$下的长度
• 定义$d(\alpha,\beta)=||\alpha-\beta||$为距离

柯西不等式

$$||\beta||||\alpha||\ge|\lt\alpha,\beta\gt|$$

度量矩阵与标准正交基

称基底$\Epsilon[]=\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$对应的矩阵

$$M_{n\times n}= \begin{pmatrix} \lt\varepsilon_1,\varepsilon_1\gt&\cdots&\lt\varepsilon_1,\varepsilon_n\gt\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \lt\varepsilon_n,\varepsilon_1\gt&\cdots&\lt\varepsilon_n,\varepsilon_n\gt\\ \end{pmatrix}$$

为度量矩阵。

当$M=I$时，称$\Epsilon[]$为一组单位正交基

内积的证明例题⭐️

设$V=\mathbb F^{n\times n},\lt\cdot,\cdot\gt:V\times V\rarr F,(A,B)\mapsto tr(A^HB)$，求证$\lt\cdot,\cdot\gt$是内积

解：

$\lt A,B\gt=\overline{\lt B,A\gt}$：

$$\lt A,B\gt=tr(A^HB)=tr((A^HB)^T)=\\ tr(\overline{ B^HA})=\overline{ tr(B^HA)}=\overline{\lt B,A\gt}$$

$\lt A,A\gt\ge 0$且等号成立当且仅当$\alpha = \theta_v$：

设$A=\{a_{k,j}+b_{k,j}i\}_{n\times n},a,b\in\mathbb{ R}$，i虚数单位，则

$$\lt A,A\gt=tr(A^HA)=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n (a_{x,y}^2+b_{x,y}^2)\ge 0$$

取等号当且仅当$a_{x,y}=b_{x,y}=0$，即$A=\theta_V$

关于第二个分量线性：

$$\lt A,B\gt+\lt A,C\gt=tr(A^HB)+tr(A^HC)=tr(A^HB+A^HC)=\\ tr(A^H(B+C))=\lt A,(B+C)\gt$$ $$\lt A,B\gt\lambda=tr(A^HB)\cdot\lambda=tr(A^HB\cdot\lambda)=\lt A,B\lambda\gt$$

线性映射⭐️

• 如果映射是线性的，就叫线性映射
• 线性自映射又叫线性算子
• 零元对齐

线性映射例题⭐️

设$V=\{e^{2x}(bx+c)|b,c\in\mathbb C\},A:V\rarr V,f(x)\mapsto f'(x)$，求其矩阵表示及Jordan标准型

解：

考虑到$e^{2x}(bx+c)=bxe^{2x}+ce^{2x}$,$(e^{2x}(bx+c))'=2bxe^{2x}+(2c+b)e^{2x}$，取基底$\xi_1=xe^{2x},\xi_2=e^{2x}$，则该基底下坐标$f(x)=(b,c)^T,f'(x)=(2b,2c+b)^T$，从而

$$A=\begin{pmatrix} 2&0\\ 1&2 \end{pmatrix}$$

其特征多项式$|Ix-A|=(x-2)^2$，求得特征值$\lambda=2$，代数重数2，几何重数1，故A的Jordan标准型为$J_2(2)$

像空间和核空间

• $Im(f)=\{f(\alpha)|\alpha\in V_1\}\le V_2$
• $Ker(f)=\{\alpha\in V_1|f(\alpha)=\theta_{V_2}\le V_1$
• $Ker(f)=\{\theta_{V_1}\}$当且仅当$f$为单射
• 线性双射又称线性同构，此时称两个线性空间同构，记作$V_1\underset{\varphi}{\cong}V_2$

矩阵表示

• 有限维的线性空间间的线性映射可用矩阵表示。取$V_1$的基底$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$和$V_2$的基底$\beta_1,\cdots,\beta_m$，则对于映射$\varphi:V_1\rarr V_2$和$\alpha\in V_1$，如果$\varphi(\alpha)=(\beta_1,\cdots,\beta_m)AX$则称A是$\varphi$在这两组基下的矩阵表示
• 换底时，对于$\Alpha P=\Alpha',\Beta Q=\Beta '$，对应的$A$有$A'=Q^{-1}AP$，此时称A‘和A是相抵的，记作$A\sim A'$
• $\sim$是一个等价关系，相抵的矩阵有相等的秩
• 特别地，当$\varphi$是线性算子，且$P=Q$有$A'=P^{-1}AP$，称$A'$与$A$相似

子空间的正交补

设内积空间$V$，有子空间$W\le V$

则

$$W^\bot=\{\beta \in V|\lt\alpha,\beta\gt=0,\forall \alpha \in W\}$$

称为W的正交补

显然$W^\bot\le V$,$W\cap W^\bot=\{\theta_V\}$

正交补的和

证明：$W+W^\bot=V$

设$r=dim(W)$的

1. $r=0$,$W=\{\theta_v\},W^\bot =V$，显然
2. $r=n,W=V,W^\bot=\{\theta_v\}$，显然
3. 如果$0\lt r\lt n$，可以取$W$的一组标准正交基$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$，那么显然$V$存在一组标准正交基$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r,\varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_n$;考虑到$\varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_n\in W^\bot$，显然有$n-r=dim([\varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_n])\le dim(W)$；从而$n=r+n-r\le dim(W)+dim(W^\bot)=dim(W+W^\bot)\le dim(V)=n\rArr dim(W+W^\bot)=n\rArr W+W^\bot=V$

保内积的线性算子

• 如果算子$\sigma$满足$\lt\sigma(\alpha),\sigma(\beta)\gt=\lt\alpha,\beta\gt$，则称$\sigma$保内积
• 保内积的线性算子在实数域被称为正交变换，在复数域被称为酉变换

相似与相抵

• 相抵：$B=Q^{-1}AP$
• 相似：$B=P^{-1}AP$
• 如果$P^TP=I,P\in\mathbb{R}^{n\times n}$，称之为正交阵
• 如果$P^HP=I,P\in\mathbb{C}^{n\times n}$，称之为酉矩阵

相似不变量

1. 相似是等价关系
2. $A\sim B\rArr\begin{cases} det(A)=det(B)\\ tr(A)=tr(B)\\ rank(A)=rank(B)\\ f(A)=f(B),f(X)\in \mathbb{C}[X]\\ f(A)=0\lrarr f(B)=0 \end{cases}$
3. 最小多项式$m_A(x)$是满足$m_A(A)=0$的次数最小的、首系数为1的多项式

相似标准型

• 称针对矩阵$A$的行为$P^{-1}AP=D=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$为相似对角化，其中$P=(\xi_1,\cdots,\xi_n)$

Schur标准型

• $\forall A\in \mathbb{C}^{n\times n},\exists U,U^HU=I,U^{-1}AU=B$，使得$B$是上三角矩阵。可以使用数学归纳法证明。
• 引理：存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}BP=diag(b_1,\cdots,b_n)$

酉相似对角化

设$A\in \mathbb{C}^{n\times n}$，则以下条件等价：

1. $\exist U,U^HU=I,U^{-1}AU=D=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in \mathbb{C}^{n\times n}$
2. $A^HA=AA^H$
3. A是正规的

Jordan标准型

$\forall A\in\mathbb{C}^{n\times n}, \exist P,P$可逆使得$P^{-1}AP=$

$$J=\begin{pmatrix} J_1&&\\ &\ddots&\\ &&J_n \end{pmatrix}$$

其中$J_i=\begin{cases} \begin{pmatrix} \lambda_i \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} \lambda_i& 1&&&&\\ & \lambda_i& 1&&&\\ &&\ddots&\ddots&&\\ &&&\lambda_i&1\\ &&&&\lambda_i \end{pmatrix} \end{cases}$

称$J$为$A$的Jordan标准型。

$P$一般不唯一，但$J$本质上唯一。

Jordan标准型的最小多项式等于各Jordan块最小多项式的最小公倍式

计算Jordan标准型(和$P$)的方法：

• 通过矩阵变换求解
• 计算方法
  • 几何重数：某一特征值对应特征方程的解向量的个数，是某一特征值对应Jordan块的个数
  • 代数重数：矩阵对应的特征方程有特征值，相同的特征值的个数，是某一特征值对应Jordan块的阶数之和

  • 破防了，具体求法要不咱们ignore吧

    1. 求特征值和代数重数
    2. 对于每个特征值$\lambda_i$和重数$k$
       1. 求几何重数，即对应于它的根子空间维数$dim\space Ker(A-I\lambda)=n-r(A-I\lambda)$
       2. 求使得$r((A-I\lambda)^k)= 0$的最小整数$k$，它等于最大的Jordan块阶数
       3. 正常题到这里就结束了，如果没结束那建议放弃
    3. 令$P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$，解决方程组$AP=PJ$即可求得$P$

广义特征向量

设$A\in \mathbb{C}^{n\times n},\lambda\in\mathbb{C},k\in\mathbb{Z}_+,\xi\in \mathbb{C}^{n\times 1}$，如果

1. $(A-\lambda I)^k\xi=0$
2. $(A-\lambda I)^{k-1}\xi\not=0$

则称$\xi$是属于$A$的特征值$\lambda$，深度为$k$的广义特征向量

酉相抵标准型

设$0\not ={A}\in\mathbb{C}^{m\times n}$，显然$\exist V,=(V_1,V_2)V^HV=I,V^{-1}(A^HA)V=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0)\\=diag(\delta_1^2,\cdots,\delta_r^2,0,\cdots,0)$

• 显然$\lambda_1,\cdots,\lambda_r$是一组非负实数

  • $V^{-1}(A^HA)V$

• $\delta_1,\cdots,\delta_r$称为$A$的奇异值，规定$\delta_1\ge\delta_2\ge\cdots\ge\delta_n$

• 令$\Sigma=diag(\delta_1,\cdots,\delta_n)$则$V^{-1}A^HAV=\begin{pmatrix}\Sigma^2&0\\0&0\end{pmatrix}$

• 令$U_1=AV_1\Sigma^{-1}$，则$U_1^HU_1=I_r$，其列向量组是标准正交的，因此$\exist U_2,U=(U_1,U_2),U^HU=I$，从而$U^{-1}AV=\begin{pmatrix}\Sigma&0\\0&0\end{pmatrix}$

例题

1. 求Jordan标准型，可逆阵P，最小多项式

已知

$$A=\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ &1&2&3\\ &&1&2\\ &&&1 \end{pmatrix}$$

1. 求Jordan标准型$J$
2. 求可逆方阵P，$J=P^{-1}AP$
3. 求$A$的最小多项式

解：

1.显然$A$的特征多项式$\varphi_A(\lambda)=(\lambda-1)^4$. 由于

$$rank(A-I)=3\\ dim\space Ker(A-I)=4-rank(A-I)=1$$

因此只有一个属于特征值1的Jordan块

$$J=J_4(1)$$

2.计算得

$$(A-I)^2=\begin{pmatrix} 0&0&4&12\\ &0&0&4\\ &&0&0\\ &&&0 \end{pmatrix}, (A-I)^3=\begin{pmatrix} 0&0&0&8\\ &0&0&0\\ &&0&0\\ &&&0 \end{pmatrix}$$

显然$X_4=(0,0,0,1)^T$满足$(A-I)^3X_4\not ={0}$,$X_4$是4次根向量 从而$X_3=(A-I)X_4=(4,3,2,0)^T,X_2=(A-I)X_3=(12,4,0,0)^T,X_1=(A-I)X_2=(8,0,0,0)^T$故$P=(X_1,X_2,X_3,X_4),P^{-1}AP=J$ 3.$m_A(\lambda)=m_J(\lambda)=(\lambda-1)^4$

2.求差分方程解空间的一个基

差分方程$y_{k+3}-2y_{k+2}-5y_{k+1}+6y_k=0$

解：

考虑线性算子$A$，$Ay_n=y_{n+1}$，令$p(x)=x^3-2x^2-5x+6$，则目标解空间为

$$W=\{y:\mathbb{N}\rarr\mathbb{C}|p(A)y=0\}=ker(P(A))\le \mathbb{C}^\mathbb{N}$$

令$\varphi:\mathbb{C}^{3\times 1}\rarr W$, $(a,b,c)^T\mapsto (a,b,c,\cdots)^T)$，显然$\varphi$是线性双射，故$W$是三维线性空间，有基底$\varphi((1,0,0)^T),\varphi((0,1,0)^T),\varphi((0,0,1)^T)$

3.求矩阵对角线映射核空间的一组基

设$f:\mathbb{R}^{2\times 2}\rarr\mathbb{R},A \mapsto tr(A)$

1. 求$\ker f$的一组基
2. 在$\mathbb{R}$上定义$\lt,\gt:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rarr \mathbb{R},\lt A,B\gt\mapsto tr(A^TB)$，证明$\lt,\gt$是内积，并求$\ker f^\bot$

解：

1. 显然：

$$\alpha_1=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}, \alpha_2=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}, \alpha_3=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}$$

是一组基

2. $\lt A,B\gt=tr(A^TB)=\lt B,A\gt,\lt A,A\gt=a_{11}^2+a_{12}^2+a_{21}^2+a_{22}^2\ge 0$，线性显然

从而$\ker f^\bot=\{\beta|tr(\alpha_1^T\beta )=tr(\alpha_2^T\beta )=tr(\alpha_3^T\beta )=0\}$

矩阵范数与分析

知识储备

1. 数列和函数的极限，导数，微分，积分，无穷级数
2. 柯西收敛准则$\forall \varepsilon\gt 0,\exist N\in \mathbb{N},m_1,m_2\gt N$时有$|a_{m_1}-a_{m_2}|\lt\varepsilon$

范数

设$V$是$\mathbb{F}$上的有限维线性空间，如果映射$:V\rarr \mathbb{R}$满足

1. $\forall \alpha\in V,||\alpha||\ge 0$，等号成立当且仅当$\alpha=\theta_V$
2. $\forall \alpha\in V,\lambda\in\mathbb F,||\alpha\lambda||=||\alpha||\cdot||\lambda||$
3. $\forall \alpha,\beta\in V,||\alpha+\beta||\le||\alpha||+||\beta||$

则称$||X||$为$V$上的范数，称$V$为赋范线性空间

定义$V$上元素的距离为他们差的范数。

• 设$||X||_1,||X||_2$是两个范数，则存在正常数$c_1,c_2,\forall \upsilon\in V,||\upsilon||_1\le c_1||\upsilon||_2;||\upsilon||_2\le c_2||\upsilon||_1$
• $\{\upsilon_n\}_{n\in \mathbb{N}}$是否柯西收敛与范数选取无关
• 有限维赋范线性空间上的柯西列必定收敛

P-范数

$$||\alpha||_p=||(x_1,\cdots,x_n)^T||_p=(\sum_{i=1}^n|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$

• $p=\infin,||\alpha||_\infin=max\{|x_i|\}$

线性映射的范数

设$f:(V_1,||X||_1)\rarr (V_2,||X||_2)$，则

$$||f||=\underset{v_0\in V_1-\{\theta_{v_1}\}}{\max}\frac{||f(v_0)||_2}{||v_0||_1}=\underset{v_0\in \{v|\space||v||_1=1\}\}}{\max}||f(v_0)||_2$$

矩阵的范数

设矩阵$A\in\mathbb{F}^{m\times n},\varphi:\mathbb F^{n\times 1}\rarr\mathbb F^{m\times 1},X\mapsto AX$，则$||A||=||\varphi||$

P-计算公式

• $p=1,||A||=\underset{1\le j\le n}{max}\sum_{i=1}^m|a_{ij}|$（列和范数）
• $p=2,||A||=\delta_1$（最大奇异值）
• $p=\infin,||A||=\underset{1\le i\le m}{max}\sum_{j=1}^n|a_{ij}|$（行和范数）

一些性质：

$$||A\cdot B||\le||A||\cdot||B||\tag{0}$$

• 对于方阵，$||A^2||\le||A||^2$
• 对于方阵，当$||A||\lt 1,\underset{k\rarr\infin}{lim}A^k=0$
• 对于满足(0)这样的范数，$||X||$存在且$||AX||\le||A||\cdot||X||$;$||A||\ge \rho(A)=\underset{1\le i\le n}{max}|\lambda_i|$
• $\forall A\not=0\in \mathbb C^{n\times n},\forall \varepsilon\gt 0,\exists \mathbb C^{n\times n}$上满足(0)的范数，使得$||A||\le\rho(A)+\varepsilon$
• 如果$\rho(A)\lt 1$，则存在范数使得$||A||\lt 1$

方阵的序列及级数收敛性

序列收敛性

极限$\underset{k\rarr\infin}{lim}A^k$存在的充要条件是：

1. $\rho(A)\le 1$
2. 所有模长为1的特征值只能是1，切特征值为1 的每个Jordan块大小均为$1\times 1$

如果$\underset{k\rarr\infin}{lim}A^k=P,P^2=P$

级数收敛性

无穷级数$\sum_{k=0}^{+\infin}A^k$收敛的充要条件是$\rho(A)\lt 1$

此时$\sum_{k=0}^{+\infin}A^k=(I-A)^{-1}$

矩阵函数与收敛半径

如果$f(z)=\sum_{m=0}^{+\infin}a_mz^m$的收敛半径$r\gt 0$，且方阵$A$的谱半径严格小于$r$，则$f(z)|_{z=A}=f(A)=\sum_{m=0}^{+\infin}a_mz^m$有意义。

计算$f(A)$可以采用以下方法：

$$f(A)=Pf(J)P^{-1}=\\ Pdiag(f(J_1),\cdots,f(J_n))P^{-1}=\\ Pdiag(f(\lambda_1 I+N),\cdots)P^{-1}$$

其中$N=\begin{pmatrix}0&1&\cdots&0\\&\ddots&\ddots&\vdots\\&&\ddots&1\\&&&0\end{pmatrix},N^k=0,k\ge 2$

从而对于$J_3(\lambda)$

$$f(J_3(\lambda))= \begin{pmatrix} \alpha&\beta&\gamma\\ 0&\alpha&\beta\\ 0&0&\alpha \end{pmatrix},\\ \begin{cases} \alpha=\sum_{m=0}^{+\infin}a_m\lambda^m=f^{(0)}(\lambda)/0!\\ \beta=\sum_{m=0}^{+\infin}a_m\lambda^{m-1}C_m^1=f^{(1)}(\lambda)/1!\\ \gamma=\sum_{m=0}^{+\infin}a_m\lambda^{m-2}C_m^2=f^{(2)}(\lambda)/2!\\ \end{cases}$$

常用函数

函数	展开	收敛半径
$e^z$	$\sum_{i=0}^{+\infin}\frac{z^i}{i!}$	$+\infin$
$\cos z$	$\sum_{i=0}^{+\infin}\frac{(-1)^iz^{2i}}{(2i)!}$	$+\infin$
$\sin z$	$\sum_{i=0}^{+\infin}\frac{(-1)^iz^{2i+1}}{(2i+1)!}$	$+\infin$
$(1-z)^{-1}$	$\sum_{i=0}^{+\infin}{z^i}$	1
$\ln (1+z)$	$\sum_{i=0}^{+\infin}\frac{(-1)^iz^{i+1}}{(i+1)!}$	1
$(1+z)^\alpha,\alpha\in\mathbb R$	$\sum_{i=0}^{+\infin}C_\alpha^iz^i$	1

$e^A$的特性

以下特性可通过定义证明：

1. 如果$AB=BA$则$e^Ae^B=e^{A+B}=e^Be^A$
2. $(e^A)^{-1}=e^{-A}$
3. $det(e^A)=e^{tr(A)}$
4. $e^{iA}=\cos A+i\sin A(i^2=-1)$
5. 如果$A$是实反对称矩阵($A+A^T=0$)，$e^A$是行列式为1的实正交阵
6. 如果$A^H=A$，则$e^{iA}$是酉矩阵

导数

方阵对某个变量的导数，等于其内各项分别求导得到的新方阵。

矩阵函数的插值计算

如果$|xI-A_{n\times n}|=\prod_{i=1}^S(x-\lambda_i)^{\alpha_i},\lambda_i$互不重复，且$f(z)=\sum_{m=0}^{+\infin}a_mz^m$的收敛半径$r\gt \rho(A)$，

则$\exist g(z)=c_0+c_1z+\cdots+c_{n-1}z^{n-1}$使得

$$g^{(j)}(\lambda_i)=f^{(j)}(\lambda_i),j=0,1,2,\cdots,\alpha_i -1;i=1,2,\cdots,S$$

插值计算例题

设$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$，求$e^{At}$

解：

$|xI-A|=(x-3)[(x-(-1))]$

令$f(z)=e^{zt},g(z)=c_0+c_1z$,求$c_0,c_1$满足：

$$\begin{cases} f(3)=e^{3t}=c_0+3c_1\\ f(-1)=e^{-t}=c_0-c_1 \end{cases}$$

从而$f(A)=e^{At}=g(A)=c_0I+c_1A$

矩阵方程

$AX=B$

$AX=B$解存在性

1. 代数判别法：$r(A|B)=r(A)$
2. 几何判别法:ignore

如果$B\in\mathbb C^{m\times 1}$，则当且仅当$A$是列满秩阵有解

$AX=B$解唯一性

1. 代数方法：行满秩
2. 几何方法：列向量组线性无关

左和右逆矩阵

设$A\in\mathbb C^{m\times n}$则

1. $\exist G,AG=I_m \iff r(A)=m$
2. $\exist H,HA=I_n \iff r(A)=n$
3. $\exist H,G,HA=I_n\wedge AG=I_m \iff r(A)=m=n\wedge G=H$

$AX=B$解法

引入$P,Q,\overset{\sim}{A}=Q^{-1}AP$

从而方程转化为$\overset{\sim}{A}P^{-1}X=Q^{-1}B$

其中：

P，Q	$\overset{\sim}{A}$
可逆矩阵	$\begin{pmatrix}J&0\\0&0\end{pmatrix}$
酉矩阵	$\begin{pmatrix}\Sigma&0\\0&0\end{pmatrix}$

$AX=B$例题⭐️

设$AGA=A$，求证：$AX=\beta$有解$\iff AG\beta=\beta$

证明： $\lArr$:

显然，$X=G\beta$是方程的解

$\rArr$:

由于方程有解决， $\forall \beta,\exist X,AX=\beta$，从而

$$\beta=AX=(AGA)X=AG(AX)=AG\beta$$

$AX-XB=C$⭐️

$$A_{m\times m}X_{m\times l}-X_{m\times l}A_{l\times l}=C_{m\times l}$$

$AX-XB=C$解法思路

相似对角化，引入酉矩阵$P,Q$,

$AX-XB=C$解的存在性与唯一性

设$V=\mathbb C^{m\times l},\varphi:V\rarr V;X\mapsto AX-XB$,则易得$\varphi$是线性算子。

取$V$上的一组基，则$\varphi$的矩阵表示为$L,r=r(L)$

从而：

1. $Im\varphi=V\iff r=m\cdot l$
2. $Ker\varphi=\{\theta_V\}\iff m\cdot l-r=0$

因此如果方程有解，这个解是唯一的。

如果$Ker\varphi\not=\{\theta_V\}$

设$A,B$有公共特征值$\lambda$,则存在非零向量$\xi,\eta,A\xi=\xi\lambda,B^T\eta=\eta\lambda$

令$X_0=\xi\eta^T$，则$AX_0=XB_0$

从而$X_0$是$AX-XB=0$的一个非零解。

如果$Ker\varphi=\{\theta_V\}$

则$A,B$没有公共特征值。

广义逆矩阵

MP-逆

设$A\in\mathbb C^{m\times n}$则若$B\in\mathbb C^{n\times m}$使得

1. $ABA=A$
2. $BAB=B$
3. $(AB)^H=AB$
4. $(BA)^H=BA$

则称$B$是$A$的MP-逆。MP-逆总是唯一且存在。

证明：

1. 如果$A=0\rArr B=0$
2. 否则，存在酉矩阵$P,Q,Q^{-1}AP=$,$\begin{pmatrix}\Sigma&0\\0&0\end{pmatrix}=C$，使得各条件均成立。

{1}逆和{1,2}逆

1. $A^{\{1\}}=\{X|AXA=A\}$
2. $A^{\{1,2\}}=\{X|AXA=A\wedge XAX=X\}$

如果$X,Y$均是$A$的{1}逆，则$XAY$也是$A$的{1}逆