半群和幺半群
设代数系(S,∘),如果∘满足结合律,则称S关于∘构成一个半群,记为(S,∘)
幺半群
有单位元素e的半群(S,∘)称为独异点或幺半群,记作(S,∘,e);然后如果集合S有限,称其为有限幺半群,S的基数被称为幺半群(S,∘,e)的阶。
有限半群(S,∘,e)是一个幺半群,当且仅当
∃s,t∈S,sS=S,St=S
元素的幂
幺半群(S,∘,e)中,可以定义元素的非负整数幂。∀a∈S
a0=e,an+1=an∘a,n≥0
幂运算满足普通幂运算的性质,即:
设(S,∘,e)是一个幺半群,m,n是任意非负整数,则对∀a∈S
am∘an=am+n(am)n=amn
逆元素
设(S,∘,e)是一个幺半群,a∈S,则如果a∘ar=e,ar称为a的右逆元素。左逆元素同理。如果∃b,b∘a=a∘b=e,则称a有逆元素b。如果左右逆元素都存在,那么它们相等,于是a有逆元素且逆元素唯一。
每个元素都有逆元素的幺半群称为群。
有限半群(S,∘)是一个群当且仅当对于∀s∈S,sS=S,且∃t∈S,St=S
子半群
设(S,∘)是一个半群,B是S的非空子集,如果∀a,b∈B,a∘b∈B,则称(B,∘)是(S,∘)的一个子半群,简称B是S的一个子半群。
设(S,∘)是一个半群,A是S的一个非空子集,则S的一切包含A的子半群的交集Q也是子半群。Q称为由A生成的子半群,记为(A)
子幺半群
设(S,∘,e)是一个幺半群,P⊆S,如果e∈P,且P是S的子半群,则称P是S的子幺半群。
一个幺半群的任意多个子幺半群的交集仍是子幺半群。
设(S,∘)是一个半群,其非空子集A称为S的一个左理想,如果SA⊆A,右理想同理。如果A即是左理想,又是右理想,那么称A是S的理想。
设A是半群(S,∘)的一个非空子集,则
A∪SA是A生成的左理想A∪AS是A生成的右理想A∪SA∪AS∪SAS是A生成的理想
对于幺半群(S,∘,e)
SA是A生成的左理想AS是A生成的右理想SAS是A生成的理想
循环半群
如果一个半群是由其中某个元素生成的半群,则称其为循环半群。由a生成的循环半群记作(a)
如此的幺半群,就是循环幺半群。
如: (N,+)是由1生成的循环半群。
循环半群,必是可交换半群。
设半群(S,∘),(T,⋆),如果存在一一对应φ:S→T,∀a,b∈S,φ(a∘b)=φ(a)⋆φ(b)则称半群(S,∘),半群(T,⋆)同构,记为(S,∘)≅(T,⋆),简记为S≅φT,φ称为S到T的一个同构
对于同构的幺半群(S,∘,e),(T,⋆,e′),有φ(e)=e′
Cayley定理
任何的幺半群(M,∘,e)同构于变换幺半群(L(M),∘,IM)
其中
L(M)={ρa∣ρa:M→M,a∈M,ρa(x)=a∘x,∀x∈M}
设半群(S,∘),(T,⋆),如果存在映射φ:S→T,∀a,b∈S,φ(a∘b)=φ(a)⋆φ(b)则称半群(S,∘),半群(T,⋆)同构,记为(S,∘)≅(T,⋆),简记为S≅φT,φ称为S到T的一个同态
同态和同构相关定理
设半群(S,∘),代数系(T,⋆),如果存在满映射φ:S→T,∀a,b∈S,φ(a∘b)=φ(a)⋆φ(b)则(T,⋆)是半群。
设幺半群(S,∘,e),半群(T,⋆),如果φ是S到T的满半群同态,则(T.⋆,φ(e))是幺半群。
设幺半群(M1,∘,e1),(M2,⋆,e2),则M1的可逆元素a的象φ(a)也可逆,且(φ(a))−1=φ(a−1)
设半群(S,∘),(T,⋆),同态φ:S→T,则φ确定了一个等价关系Eφ:∀x,y∈S,xEϕy当且仅当φ(x)=φ(y),然后我们可以定义S/Eφ上的代数运算⋅:∀[a],[b]∈S/Eφ,[a]⋅[b]=[a∘b],那么(S/Eφ,⋅)是一个半群。
同余关系
设≅是代数系(X,∘)上的等价关系。∀a,a′,b,b′∈X,如果a′≅a,b′≅b,必有a′∘b′≅a∘b,那么就称≅是代数系X上的同余关系
设≅是代数系(X,∘)上的关系。∀[a],[b]∈X/≅,定义[a]⋅[b]=[a≅b],则⋅是X/≅上的二元代数运算当且仅当≅是同余关系
自然同态
设(S,∘),(T,⋆)是两个半群。φ是S到T的同态,半群(s/Eφ,⋅)称为商半群,令γ:S→S/Eφ,∀a∈S,γ(a)=[a],则称γ为S到S/Eφ的自然同态
同态基本定理
设φ是幺半群(M,∘,e)到(M′,⋆,e′)的同态,则
- 同态象φ(M)是M′的一个子幺半群
- 由ϕ确定到等价关系是同余关系。
- 存在唯一的M/Eφ到M′的单同态φ使得φ=φ∘γ,其中γ是M到M/Eφ的自然同态
- 如果φ是满同态,则M/Eφ与M′同构
群的定义
设非空集合G,∘是G上的二元代数运算,称为乘法。如果下列各个条件成立,则称G对∘构成群:
- ∘满足结合律
- G中有∘的左单位元,∀a∈G,e∘a=a
- G这的每个元素都有左逆元,即∀a∈G,∃b∈G,b∘a=e
交换群
如果G中的乘法满足交换律,则称G为交换群,可交换群,或阿贝尔群。
有限群
如果G是有限集合,(G,∘)称为有限群,G的基数称为该群的阶。
群的性质定理
- 设(G,∘)是一个群,∀a∈G,a的左逆元也是它的右逆元。
- G的左单位元素也是右单位元素
- 群的两个定义等价
- ∀a,b∈G:(a−1)−1=a,(ab)−1=b−1a−1
- ∀a,b∈G,方程ax=b,ya=b关于x,y有唯一解
- 非空集合G对二元运算∘构成群的充要条件是:∘满足结合律;∀a,b∈G,方程ax=b,ya=b关于x,y有唯一解
- 群G中的乘法满足消去律,即对∀a,x,y∈G,如果ax=ay,那么x=y;如果xa=ya,那么x=y
- 非空有限集合G对二元代数运算∘构成群的充分必要条件是以下两个条件同时成立:∘满足结合律与左右消去律
元素的阶
设G是一个群,a∈G,使得an=e的最小正整数n称为a的阶。如果这样的正整数不存在,则称a的阶为无穷大
有限群每个元素的阶不超过有限群的阶。
3阶群是交换群。
设S是群G的非空子集,如果G的乘法在S中封闭,且S对此乘法也构成一个群,则称S是G的子群。
子群的单位元和原群相同。各元素逆元素也和原群相同。
非空子集S是G的子群的充要条件是:1.∀a,b∈S,a∘b∈S;2.∀a∈S,a−1∈S
任意多个子群的交集还是子群。但是任何一个群不能是它的两个真子群的并。
非空子集S是G的子群的充要条件是:∀a,b∈S,a∘b−1∈S
有限非空子集F是G的子群的充要条件是:FF⊆F,即∀a,b∈F,a∘b∈F
中心元素和中心
群G的元素a称为G的中心元素。如果a与G的每个元素可交换。G的所有中心元素的集合C称为G的中心。
群G的中心C是G的可交换子群。
生成子群
设M是群G的非空子集,则G的包含M的子群的交称为M生成的子群,记作(M)
设G是一个群,a,b∈G,称aba−1b−1为a和b的换位子。由G的所有换位子生成的子群称为G的换位子群
群的同构和紫铜管
设(G1,∘),(G2,⋆)是群,如果存在一一对应ϕ:G1→G2使得∀a,b∈G1,ϕ(a∘b)=ϕ(a)⋆ϕ(b)则称G1与G2同构,记作G1≅G2,记ϕ为G1到G2上的一个同构
如果G和自己同构,则称ϕ:G→G是G的一个自同构。
设G是一个群,G的所有自同构之集A(G)对映射构成一个群,称为G的自同构群。
群G由七元素a确定的自同构
ϕ(x)=axa−1,∀a∈G
称为G的内自同构。
G的其它自同构称为外自同构。
G的所有内自同构之集G是G的一个自同构群的一个子群,称为内自同构群。
变换群,对称群,置换群
设非空集合S,sym(S)是从S到S的一一对应构成的集合,按照映射的合成构成一个群,称为S上的对称群。
当S={1,2,⋅,n}时,记Sym(S)=Sn
Sym(n)的任意子群称为S上的一个变换群,Sn的任一子群称为置换群。
Cayley同构定理:任意一个群都同构一个变换群。
任何一个N阶有限群都同构n次置换群Sn的一个n阶子群。
设(G,∘)是一个群,在G上定义二元关系R:
∀a,b∈G,aRb当且仅当有G的内自同构ϕ,使得b=ϕ(a),称R为G的共轭关系。如果aRb,称a,b共轭
循环群
如果G由某个元素a生成,则称G为循环群,即(a)=G
整数加法群(Z,+)是循环群,生成元为1
循环群G=(a)是无穷循环群的充要条件,是a的阶为无穷大。
循环群G=(a)是n阶循环群的充要条件,是a的阶为n。
无穷循环群同构于整数加群。阶为n的有限循环群同构于模n剩余类加群
循环群的子群还是循环群。
如果G是无穷循环群,则G的子群为H0=e,或是某个具有最小正整数的元am生成的,于是对于m=1,2,⋯,H0=e,Hm=(am)是G的所有子群
无限循环群中,除了H0=e外,都是无限循环子群。从而都同构于G本身。
阶为n的循环群中,每个子群的阶整除n。对n的任意因子q,必有一个阶为n的子群。于是G的全部子群是
H0=e,Hm=(am),m∣n
子群的陪集
设H是群G的一个子群,a为G的任意元素。aH称为H的一个左陪集,Ha称为H的一个右陪集。
设H是G的子群,a∈G,aH=H的充要条件是a∈H
设H是G的子群,a,b∈G,aH=bH的充要条件是a−1b∈H
设H是群G的一个子群,对∀a,b∈G,或者aH=bH,或者aH∩bH=ϕ
设H是G的一个子群,∀a,b∈G,∣aH∣=∣bH∣
设H是G的一个子群,则H的所有左陪集构成的集族是G的一个划分。
设H是G的子群,Sl是H所有左陪集构成的集族,Sr是H的所有右陪集构成的集族,则∣Sl∣=∣Sr∣
设H是G的子群,如果H的所有不同的左陪集的个数为有限数j,则称j为H在G中的指数,记作j=[G:H],否则称H在G中的指数为无穷大
拉格朗日定理
设G是一个N阶有限群,H是G的n阶子群,有
N=n⋅[G:H]
有限群中每个元素的阶,整除该群的阶。
如果群G的阶p为素数,G一定是循环群。
设G是N阶群,则对G的每个元素a, aN=e
群子集
设G是一个群,G的任意子集称为群子集。
群子集的乘法
在2G中借助G的乘法引入群子集的乘法:∀A,B∈2G,AB={ab∣a∈A,b∈B},显然群子集的乘法是2G的二元代数运算。
∀A∈2G,定义A−1={a−1∣a∈A}
群子集的乘法满足结合律。如果H是G的子群,HH=H,H−1=H,HH−1=H
设A,B是G的子群,则AB是G的子群的充要条件是AB=BA
正规子群
设H是G的子群,如果∀a∈G,aH=Ha,则称H是G的正规子群。
如果H是G的一个子群,那么下面三个命题等价:
- H是G的正规子群。
- ∀a∈G,aHa−1=H
- ∀a∈G,aHa−1⊆H
H是G的一个正规子群,当且仅当对G的任意自同构ϕ,ϕ(H)=H
设H是G的正规子群,则H的所有左陪集构成的集族Sl对群子集的乘法构成一个群。
群G的正规子群H的所有左陪集构成的集族对群子集乘法构成的群,称为G对H的商群,记作G/H
群的同态基本定理
设(G,∘),(G,⋆)是两个群,ϕ是G到G的同态,则∀a∈G,ϕ(a−1)=(ϕ(a))−1,ϕ(e)=e
设(G,∘)是一个群,(G,⋆)是一个具有二元代数运算的代数系,如果存在一个满射ϕ:G→G使得∀a,b∈G,都有ϕ(a∘b)=ϕ(a)⋆ϕ(b),则(G,⋆)是一个群。
设ϕ是(G,∘)到(G,⋆)的满同态,则G中单位元素e的完全原象ϕ−1(e)是G的正规子群。
子群/正规子群经过同态映射后的象仍是子群/正规子群。映射后的子群/正规子群的原象也是子群/正规子群。
如果N是G的正规子群,则G∼G/N
设H和K是G的两个子群,如果K⊲G,那么H/(H∩K)≅HK/K
同态核
设ϕ是(G,∘)到(G,⋆)的满同态,则G的正规子群ϕ−1(e)称为ϕ的同态核,记位Ker(ϕ)
设G和K是两个群,ϕ:G→K是一个G到K的满同态,则K≅G/Ker(ϕ)
设R是代数系,有乘法∘和加法+,如果:
- R对乘法构成半群
- R对加法构成阿贝尔群
- 乘法对加法满足分配律
则称(R,+,∘)构成一个环。乘法可交换的环是交换环。
R有限的环称为有限换环。
零环{0}
环的术语
加法的单位元用0表示,并成为R的零元素。
a的加法逆元记作-a,并成为a的负元素。
R中假发的逆运算称为减法,用-表示,定义:
∀a,b∈R,a−b=a+(−b)
a对加法的m次幂记位ma
零因子
设(R,+,∘)是一个环,a∈R,如果存在一个元素b∈R,使得ab=0则称a是R的一个左零因子。同理,定义右零因子。如果a即是左零因子,又是右零因子,称a为R的一个零因子。0是R的一个零因子。
无零因子环
没有非零的左零因子或右零因子的环称为无零因子环。
环R是无零因子环的充要条件是R中乘法满足消去律。
在无零因子环(体,域)中,每个非零元素对加法的阶都相同,称为该环的特征数,简称为特征。
若无零因子环的特征数为p,则p必为素数。整环,体,域的特征数是无穷大或素数。
可换的无零因子环称为整环。
一个环称为一个体,如果:
- 它至少包含一个非零元素
- 非零元素的全体对乘法构成一个群
至少含有一个非零元素的无零因子有限环是体。
环(R,+,⋅)是体当且仅当R−{0}=∅且∀a,b∈R−{0},方程ax=b,ya=b在R中有解。
可换体称为域。
设p为素数,则(Zp,+,⋅)是一个有限域。
特征为p的域中,有
(a+b)p=ap+bp(a−b)p=ap−bp
环的同构/同态
与群,半群的同构/同态类似。
环的理想
环R的子环N称为R的一个左(右)理想子环,如果对∀r∈R,rN⊆N(Nr⊆N)如果N即是R的作离休,又是R的右理想,则称N是R的理想。
理想的判定条件:
- ∀n1,n2∈N,n1−n2∈N
- ∀r∈R,n∈N,rn∈N,nr∈N
设{Hl}l∈I是R的理想构成的集族,则∩l∈IHl是R的理想。
设A是环R的非空子集,则R中所有包含A的理想的交集称为A生成的理想,记作(A)如果A={a}则(A)=(a),如果A={a1,a2,⋯,an}则记(A)=(a1,a2,⋯,an)由一个元素a生成的理想称为R的主理想。
体/域中只有两个理想,它们是{0}和体/域本身。
极大理想
如果H是R的真理想,且R不存在真理想N使得H⊊N则称H是R的极大理想。
设R是一个有单位元的可换环,H是R的理想,则R/H是域当且仅当H是R的极大理想。
费尔马定理
设p>2是一个整数,如果存在正整数x,1<x<p使得
- xp−1≡1(mod p)
- xi≡1(mod p),i=1,2,⋯,p−2
则p是一个素数。又若p是一个素数,则对任何正整数a有
ap≡a(mod p)