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离散数学-近世代数笔记

· 21 min read
Ferdinand Su
Ferdinand Su
PhD Student @ HIT-ICES, Founder & Manager @ HIT-ReFreSH, C# developer.

半群和幺半群​

半群​

设代数系(S,∘)(S,\circ)，如果∘\circ满足结合律，则称S关于∘\circ构成一个半群，记为(S,∘)(S,\circ)

幺半群​

有单位元素e的半群(S,∘)(S,\circ)称为独异点或幺半群，记作(S,∘,e)(S,\circ,e);然后如果集合S有限，称其为有限幺半群，S的基数被称为幺半群(S,∘,e)(S,\circ,e)的阶。

有限半群(S,∘,e)(S,\circ,e)是一个幺半群，当且仅当

∃s,t∈S,sS=S,St=S\exists s,t \in S, sS=S,St=S

元素的幂​

幺半群(S,∘,e)(S,\circ,e)中，可以定义元素的非负整数幂。∀a∈S\forall a\in S

a0=e,an+1=an∘a,n≥0a^0=e,a^{n+1}=a^n\circ a,n\ge0

幂运算满足普通幂运算的性质，即:

设(S,∘,e)(S,\circ,e)是一个幺半群，m,n是任意非负整数，则对∀a∈S\forall a\in S

am∘an=am+n(am)n=amna^m\circ a^n=a^{m+n}\\ (a^m)^n=a^{mn}

逆元素​

设(S,∘,e)(S,\circ,e)是一个幺半群，a∈Sa\in S，则如果a∘ar=ea\circ a_r=e，ara_r称为a的右逆元素。左逆元素同理。如果∃b,b∘a=a∘b=e\exists b, b\circ a=a\circ b=e，则称a有逆元素b。如果左右逆元素都存在，那么它们相等，于是a有逆元素且逆元素唯一。

群​

每个元素都有逆元素的幺半群称为群。

有限半群(S,∘)(S,\circ)是一个群当且仅当对于∀s∈S,sS=S,且∃t∈S,St=S\forall s\in S,sS=S,且\exists t\in S,St=S

子半群​

设(S,∘)(S,\circ)是一个半群，B是S的非空子集，如果∀a,b∈B,a∘b∈B\forall a,b\in B, a\circ b\in B，则称(B,∘)(B,\circ)是(S,∘)(S,\circ)的一个子半群，简称B是S的一个子半群。

设(S,∘)(S,\circ)是一个半群，A是S的一个非空子集，则S的一切包含A的子半群的交集Q也是子半群。Q称为由A生成的子半群，记为(A)(A)

子幺半群​

设(S,∘,e)(S,\circ,e)是一个幺半群，P⊆S,如果e∈P,P\subseteq S, 如果e\in P,且P是S的子半群，则称P是S的子幺半群。

一个幺半群的任意多个子幺半群的交集仍是子幺半群。

理想​

设(S,∘)(S,\circ)是一个半群，其非空子集A称为S的一个左理想，如果SA⊆ASA\subseteq A，右理想同理。如果A即是左理想，又是右理想，那么称A是S的理想。

设A是半群(S,∘)(S,\circ)的一个非空子集，则

A∪SA是A生成的左理想A∪AS是A生成的右理想A∪SA∪AS∪SAS是A生成的理想A\cup SA是A生成的左理想\\ A\cup AS是A生成的右理想\\ A\cup SA\cup AS\cup SAS 是A生成的理想

对于幺半群(S,∘,e)(S,\circ,e)

SA是A生成的左理想AS是A生成的右理想SAS是A生成的理想SA是A生成的左理想\\ AS是A生成的右理想\\ SAS 是A生成的理想

循环半群​

如果一个半群是由其中某个元素生成的半群，则称其为循环半群。由a生成的循环半群记作(a)(a) 如此的幺半群，就是循环幺半群。

如: (N,+)是由1生成的循环半群。

循环半群，必是可交换半群。

同构​

设半群(S,∘)(S,\circ)，(T,⋆)(T,\star)，如果存在一一对应φ:S→T,∀a,b∈S,φ(a∘b)=φ(a)⋆φ(b)\varphi: S\rightarrow T, \forall a,b\in S,\varphi(a\circ b)=\varphi(a)\star\varphi(b)则称半群(S,∘)(S,\circ)，半群(T,⋆)(T,\star)同构，记为(S,∘)≅(T,⋆)，简记为S≅φT,φ称为S到T的一个同构(S,\circ)\cong(T,\star)，简记为S\overset{\varphi}{\cong} T,\varphi 称为S到T的一个同构

对于同构的幺半群(S,∘,e)(S,\circ,e)，(T,⋆,e′)(T,\star,e')，有φ(e)=e′\varphi(e)=e'

Cayley定理​

任何的幺半群(M,∘,e)(M,\circ,e)同构于变换幺半群(L(M),∘,IM)(L(M),\circ,I_M)

其中

L(M)={ρa∣ρa:M→M,a∈M,ρa(x)=a∘x,∀x∈M}L(M)=\{\rho_a|\rho_a:M\rightarrow M,a\in M,\rho_a(x)=a\circ x,\forall x\in M\}

同态​

设半群(S,∘)(S,\circ)，(T,⋆)(T,\star)，如果存在映射φ:S→T,∀a,b∈S,φ(a∘b)=φ(a)⋆φ(b)\varphi: S\rightarrow T, \forall a,b\in S,\varphi(a\circ b)=\varphi(a)\star\varphi(b)则称半群(S,∘)(S,\circ)，半群(T,⋆)(T,\star)同构，记为(S,∘)≅(T,⋆)，简记为S≅φT,φ称为S到T的一个同态(S,\circ)\cong(T,\star)，简记为S\overset{\varphi}{\cong} T,\varphi 称为S到T的一个同态

同态和同构相关定理​

设半群(S,∘)(S,\circ)，代数系(T,⋆)(T,\star)，如果存在满映射φ:S→T,∀a,b∈S,φ(a∘b)=φ(a)⋆φ(b)\varphi: S\rightarrow T, \forall a,b\in S,\varphi(a\circ b)=\varphi(a)\star\varphi(b)则(T,⋆)(T,\star)是半群。

设幺半群(S,∘,e)(S,\circ,e)，半群(T,⋆)(T,\star)，如果φ\varphi是S到T的满半群同态，则(T.⋆,φ(e))(T.\star,\varphi(e))是幺半群。

设幺半群(M1,∘,e1)(M_1,\circ,e_1),(M2,⋆,e2)(M_2,\star,e_2)，则M1M_1的可逆元素a的象φ(a)\varphi(a)也可逆，且(φ(a))−1=φ(a−1)(\varphi(a))^{-1}=\varphi(a^{-1})

设半群(S,∘)(S,\circ)，(T,⋆)(T,\star),同态φ:S→T\varphi:S\rightarrow T，则φ\varphi确定了一个等价关系Eφ:∀x,y∈S,xEϕy当且仅当φ(x)=φ(y)E_{\varphi}:\forall x,y\in S,xE_\phi y当且仅当\varphi(x)=\varphi(y)，然后我们可以定义S/EφS/E_\varphi上的代数运算⋅:∀[a],[b]∈S/Eφ,[a]⋅[b]=[a∘b]\cdot:\forall [a],[b]\in S/E_\varphi,[a]\cdot[b]=[a\circ b]，那么(S/Eφ,⋅)(S/E_\varphi,\cdot)是一个半群。

同余关系​

设≅\cong是代数系(X,∘)(X,\circ)上的等价关系。∀a,a′,b,b′∈X,如果a′≅a,b′≅b，必有a′∘b′≅a∘b，那么就称≅是代数系X上的同余关系\forall a,a',b,b'\in X, 如果a'\cong a, b'\cong b，必有a'\circ b'\cong a\circ b，那么就称\cong 是代数系X上的同余关系

设≅\cong是代数系(X,∘)(X,\circ)上的关系。∀[a],[b]∈X/≅，定义[a]⋅[b]=[a≅b]，则⋅是X/≅上的二元代数运算当且仅当≅是同余关系\forall [a],[b]\in X/\cong，定义[a]\cdot[b]=[a\cong b]，则\cdot是X/\cong上的二元代数运算当且仅当\cong是同余关系

自然同态​

设(S,∘),(T,⋆)(S,\circ),(T,\star)是两个半群。φ是S到T的同态，半群(s/Eφ,⋅)称为商半群，令γ:S→S/Eφ,∀a∈S,γ(a)=[a]，则称γ为S到S/Eφ的自然同态\varphi是S到T的同态，半群(s/E_\varphi,\cdot)称为商半群，令\gamma:S\rightarrow S/E_\varphi,\forall a\in S,\gamma(a)=[a]，则称\gamma为S到S/E_\varphi的自然同态

同态基本定理​

设φ\varphi是幺半群(M,∘,e)(M,\circ,e)到(M′,⋆,e′)(M',\star,e')的同态，则

  1. 同态象φ(M)是M′的一个子幺半群\varphi(M)是M'的一个子幺半群
  2. 由ϕ\phi确定到等价关系是同余关系。
  3. 存在唯一的M/Eφ到M′的单同态φ‾使得φ=φ‾∘γ，其中γ是M到M/Eφ的自然同态M/E_\varphi 到M'的单同态\overline{\varphi}使得\varphi=\overline{\varphi}\circ\gamma ，其中 \gamma 是M到M/E_\varphi的自然同态
  4. 如果φ是满同态，则M/Eφ与M′同构\varphi是满同态，则M/E_\varphi与M'同构

群​

群的定义​

设非空集合G，∘是G上的二元代数运算，称为乘法。如果下列各个条件成立，则称G对∘构成群:设非空集合G，\circ 是G上的二元代数运算，称为乘法。如果下列各个条件成立，则称G对\circ构成群:

  1. ∘满足结合律\circ满足结合律
  2. G中有∘的左单位元，∀a∈G,e∘a=aG中有\circ的左单位元，\forall a\in G,e\circ a=a
  3. G这的每个元素都有左逆元，即∀a∈G,∃b∈G,b∘a=eG这的每个元素都有左逆元，即\forall a\in G,\exists b\in G,b\circ a=e

交换群​

如果G中的乘法满足交换律，则称G为交换群，可交换群，或阿贝尔群。

有限群​

如果G是有限集合，(G,∘)(G,\circ)称为有限群，G的基数称为该群的阶。

群的性质定理​

  1. 设(G,∘)(G,\circ)是一个群，∀a∈G，a\forall a\in G，a的左逆元也是它的右逆元。
  2. G的左单位元素也是右单位元素G的左单位元素也是右单位元素
  3. 群的两个定义等价
  4. ∀a,b∈G:(a−1)−1=a,(ab)−1=b−1a−1\forall a,b\in G:\\(a^{-1})^{-1}=a, (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}
  5. ∀a,b∈G,方程ax=b,ya=b关于x,y有唯一解\forall a,b \in G,方��程ax=b,ya=b关于x,y有唯一解
  6. 非空集合G对二元运算∘\circ构成群的充要条件是：∘满足结合律；∀a,b∈G,方程ax=b,ya=b关于x,y有唯一解\circ满足结合律；\\ \forall a,b \in G,方程ax=b,ya=b关于x,y有唯一解
  7. 群G中的乘法满足消去律，即对∀a,x,y∈G，如果ax=ay，那么x=y;如果xa=ya，那么x=y\forall a,x,y\in G，如果ax=ay，那么x=y;如果xa=ya，那么x=y
  8. 非空有限集合G对二元代数运算∘\circ构成群的充分必要条件是以下两个条件同时成立：∘满足结合律与左右消去律\circ满足结合律与左右消去律

元素的阶​

设G是一个群,a∈G,使得an=e的最小正整数n称为a的阶。如果这样的正整数不存在，则称a的阶为无穷大a\in G,使得a^n=e的最小正整数n称为a的阶。如果这样的正整数不存在，则称a的阶为无穷大

有限群每个元素的阶不超过有限群的阶。

3阶群是交换群。

子群​

设S是群G的非空子集，如果G的乘法在S中封闭，且S对此乘法也构成一个群，则称S是G的子群。S是群G的非空子集，如果G的乘法在S中封闭，且S对此乘法也构成一个群，则称S是G的子群。

子群的单位元和原群相同。各元素逆元素也和原群相同。

非空子集S是G的子群的充要条件是：1.∀a,b∈S,a∘b∈S;2.∀a∈S,a−1∈S非空子集S是G的子群的充要条件是：1. \forall a,b\in S,a\circ b\in S;2.\forall a \in S,a^{-1}\in S

任意多个子群的交集还是子群。但是任何一个群不能是它的两个真子群的并。

非空子集S是G的子群的充要条件是：∀a,b∈S,a∘b−1∈S非空子集S是G的子群的充要条件是：\forall a,b\in S,a\circ b^{-1}\in S

有限非空子集F是G的子群的充要条件是：FF⊆F，即∀a,b∈F,a∘b∈F有限非空子集F是G的子群的充要条件是：FF\subseteq F，即\forall a,b\in F,a\circ b\in F

中心元素和中心​

群G的元素a称为G的中心元素。如果a与G的每个元素可交换。G的所有中心元素的集合C称为G的中心。

群G的中心C是G的可交换子群。

生成子群​

设M是群G的非空子集，则G的包含M的子群的交称为M生成的子群，记作(M)

设G是一个群，a,b∈Ga,b\in G，称aba−1b−1为a和b的换位子。由G的所有换位子生成的子群称为G的换位子群aba^{-1}b^{-1}为a和b的换位子。由G的所有换位子生成的子群称为G的换位子群

群的同构和紫铜管​

设(G1,∘),(G2,⋆)是群，如果存在一一对应ϕ:G1→G2使得∀a,b∈G1,ϕ(a∘b)=ϕ(a)⋆ϕ(b)则称G1与G2同构，记作G1≅G2，记ϕ为G1到G2上的一个同构(G_1,\circ),(G_2,\star)是群，如果存在一一对应\phi:G_1\rightarrow G_2使得\forall a,b\in G_1,\phi (a\circ b)=\phi(a)\star\phi(b)则称G_1与G_2同构，记作G_1\cong G_2，记\phi为G_1到G_2上的一个同构

如果G和自己同构，则称ϕ:G→G是G的一个自同构。\phi:G\rightarrow G是G的一个自同构。

设G是一个群，G的所有自同构之集A(G)对映射构成一个群，称为G的自同构群。

群G由七元素a确定的自同构

ϕ(x)=axa−1,∀a∈G\phi(x)=axa^{-1},\forall a\in G

称为G的内自同构。 G的其它自同构称为外自同构。

G的所有内自同构之集G是G的一个自同构群的一个子群，称为内自同构群。

变换群，对称群，置换群​

设非空集合S，sym(S)是从S到S的一一对应构成的集合，按照映射的合成构成一个群，称为S上的对称群。

当S={1,2,⋅,n1,2,\cdot,n}时，记Sym(S)=SnSym(S)=S_n

Sym(n)的任意子群称为S上的一个变换群，Sn的任一子群称为置换群。Sym(n)的任意子群称为S上的一个变换群\\，S_n的任一子群称为置换群。

Cayley同构定理：任意一个群都同构一个变换群。

任何一个N阶有限群都同构n次置换群SnS_n的一个n阶子群。

共轭​

设(G,∘)(G,\circ)是一个群，在G上定义二元关系R：

∀a,b∈G,aRb当且仅当有G的内自同构ϕ，使得b=ϕ(a)，称R为G的共轭关系。如果aRb，称a,b共轭\forall a,b\in G,aRb当且仅当有G的内自同构\phi，使得b=\phi(a)，称R为G的共轭关系。如果aRb，称a,b共轭

循环群​

如果G由某个元素a生成，则称G为循环群，即(a)=G(a)=G

整数加法群(Z,+)是循环群，生成元为1

循环群G=(a)是无穷循环群的充要条件，是a的阶为无穷大。

循环群G=(a)是n阶循环群的充要条件，是a的阶为n。

无穷循环群同构于整数加群。阶为n的有限循环群同构于模n剩余类加群

循环群的子群还是循环群。

如果G是无穷循环群，则G的子群为H0=e，或是某个具有最小正整数的元am生成的，于是对于m=1,2,⋯ ,H0=e,Hm=(am)是G的所有子群H_0={e}，或是某个具有最小正整数的元a^m生成的，于是对于m=1,2,\cdots,H_0={e},H_m=(a_m)是G的所有子群

无限循环群中，除了H0=eH_0={e}外，都是无限循环子群。从而都同构于G本身。

阶为n的循环群中，每个子群的阶整除n。对n的任意因子q，必有一个阶为n的子群。于是G的全部子群是 H0=e,Hm=(am),m∣nH_0={e},H_m=(a_m),m|n

子群的陪集​

设H是群G的一个子群，a为G的任意元素。aH称为H的一个左陪集，Ha称为H的一个右陪集。

设H是G的子群，a∈G,aH=H的充要条件是a∈Ha\in G,aH=H的充要条件是a\in H

设H是G的子群，a,b∈G,aH=bH的充要条件是a−1b∈Ha,b\in G,aH=bH的充要条件是a^{-1}b\in H

设H是群G的一个子群，对∀a,b∈G,或者aH=bH，或者aH∩bH=ϕ\forall a,b \in G, 或者aH=bH，或者aH\cap bH=\phi

设H是G的一个子群,∀a,b∈G,∣aH∣=∣bH∣\forall a,b\in G,|aH|=|bH|

设H是G的一个子群，则H的所有左陪集构成的集族是G的一个划分。

设H是G的子群，Sl是H所有左陪集构成的集族，Sr是H的所有右陪集构成的集族，则∣Sl∣=∣Sr∣S_l是H所有左陪集构成的集族，S_r是H的所有右陪集构成的集族，则|S_l|=|S_r|

设H是G的子群，如果H的所有不同的左陪集的个数为有限数j，则称j为H在G中的指数，记作j=[G:H]j=[G:H]，否则称H在G中的指数为无穷大

拉格朗日定理​

设G是一个N阶有限群，H是G的n阶子群，有 N=n⋅[G:H]N=n\cdot[G:H]

有限群中每个元素的阶，整除该群的阶。

如果群G的阶p为素数，G一定是循环群。

设G是N阶群，则对G的每个元素a, aN=ea^N=e

群子集​

设G是一个群，G的任意子集称为群子集。

群子集的乘法​

在2G中借助G的乘法引入群子集的乘法：∀A,B∈2G,AB={ab∣a∈A,b∈B}，显然群子集的乘法是2G的二元代数运算。在2^G中借助G的乘法引入群子集的乘法：\forall A,B\in 2^G,AB=\{ab|a\in A,b\in B\}，显然群子集的乘法是2^G的二元代数运算。

∀A∈2G,定义A−1={a−1∣a∈A}\forall A\in 2^G,定义A^{-1}=\{a^{-1}|a\in A\}

群子集的乘法满足结合律。如果H是G的子群，HH=H,H−1=H,HH−1=HHH=H,H^{-1}=H,HH^{-1}=H

设A,B是G的子群，则AB是G的子群的充要条件是AB=BAA,B是G的子群，则AB是G的子群的充要条件是AB=BA

正规子群​

设H是G的子群，如果∀a∈G,aH=Ha,则称H是G的正规子群。\forall a\in G,aH=Ha,则称H是G的正规子群。

如果H是G的一个子群，那么下面三个命题等价：

  1. H是G的正规子群。
  2. ∀a∈G,aHa−1=H\forall a\in G,aHa^{-1}=H
  3. ∀a∈G,aHa−1⊆H\forall a\in G,aHa^{-1}\subseteq H

H是G的一个正规子群，当且仅当对G的任意自同构ϕ,ϕ(H)=H\phi,\phi(H)=H

设H是G的正规子群，则H的所有左陪集构成的集族Sl对群子集的乘法构成一个群。S_l对群子集的乘法构成一个群。

商集​

群G的正规子群H的所有左陪集构成的集族对群子集乘法构成的群，称为G对H的商群，记作G/HG/H

群的同态基本定理​

设(G,∘),(G‾,⋆)是两个群，ϕ是G到G‾的同态，则∀a∈G,ϕ(a−1)=(ϕ(a))−1,ϕ(e)=e‾(G,\circ),(\overline{G},\star)是两个群，\phi是G到\overline G的同态，则\forall a\in G,\phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1},\phi(e)=\overline{e}

设(G,∘)是一个群，(G‾,⋆)是一个具有二元代数运算的代数系，如果存在一个满射ϕ:G→G‾使得∀a,b∈G,都有ϕ(a∘b)=ϕ(a)⋆ϕ(b),则(G‾,⋆)是一个群。(G,\circ)是一个群，(\overline G,\star)是一个具有二元代数运算的代数系，如果存在一个满射\phi:G\rightarrow\overline{G}使得\forall a,b\in G,都有\phi(a\circ b)=\phi(a)\star\phi(b),则(\overline{G},\star)是一个群。

设ϕ是(G,∘)到(G‾,⋆)的满同态，则G‾中单位元素e‾的完全原象ϕ−1(e‾)是G的正规子群。\phi是(G,\circ)到(\overline{G},\star)的满同态，则\overline{G}中单位元素\overline{e}的完全原象\phi^{-1}(\overline{e})是G的正规子群。

子群/正规子群经过同态映射后的象仍是子群/正规子群。映射后的子群/正规子群的原象也是子群/正规子群。

如果N是G的正规子群，则G∼G/NN是G的正规子群，则G\sim G/N

设H和K是G的两个子群，如果K⊲G,那么H/(H∩K)≅HK/KK\lhd G,那么H/(H\cap K)\cong HK/K

同态核​

设ϕ是(G,∘)到(G‾,⋆)的满同态,则G的正规子群ϕ−1(e‾)称为ϕ的同态核，记位Ker(ϕ)设\phi是(G,\circ)到(\overline{G},\star)的满同态,则G的正规子群\phi^{-1}(\overline{e})称为\phi的同态核，记位Ker(\phi)

设G和K是两个群，ϕ:G→K是一个G到K的满同态，则K≅G/Ker(ϕ)\phi:G\rightarrow K是一个G到K的满同态，则K\cong G/Ker(\phi)

环​

设R是代数系，有乘法∘\circ和加法+，如果：

  1. R对乘法构成半群
  2. R对加法构成阿贝尔群
  3. 乘法对加法满足分配律

则称(R,+,∘)(R,+,\circ)构成一个环。乘法可交换的环是交换环。

R有限的环称为有限换环。

零环{0}

环的术语​

加法的单位元用0表示，并成为R的零元素。

a的加法逆元记作-a，并成为a的负元素。

R中假发的逆运算称为减法，用-表示，定义：

∀a,b∈R,a−b=a+(−b)\forall a,b\in R, a-b=a+(-b)

a对加法的m次幂记位ma

零因子​

设(R,+,∘)(R,+,\circ)是一个环，a∈Ra\in R,如果存在一个元素b∈Rb\in R,使得ab=0ab=0则称a是R的一个左零因子。同理，定义右零因子。如果a即是左零因子，又是右零因子，称a为R的一个零因子。0是R的一个零因子。

无零因子环​

没有非零的左零因子或右零因子的环称为无零因子环。

环R是无零因子环的充要条件是R中乘法满足消去律。

在无零因子环(体，域)中，每个非零元素对加法的阶都相同，称为该环的特征数，简称为特征。

若无零因子环的特征数为p，则p必为素数。整环，体，域的特征数是无穷大或素数。

整环​

可换的无零因子环称为整环。

体​

一个环称为一个体，如果：

  1. 它至少包含一个非零元素
  2. 非零元素的全体对乘法构成一个群

至少含有一个非零元素的无零因子有限环是体。

环(R,+,⋅)(R,+,\cdot)是体当且仅当R−{0}≠∅R-\{0\}\not ={\empty}且∀a,b∈R−{0}\forall a,b\in R-\{0\},方程ax=b,ya=bax=b,ya=b在R中有解。

域​

可换体称为域。

设p为素数，则(Zp,+,⋅)(Z_p,+,\cdot)是一个有限域。

特征为p的域中，有

(a+b)p=ap+bp(a−b)p=ap−bp(a+b)^p=a^p+b^p\\ (a-b)^p=a^p-b^p

环的同构/同态​

与群，半群的同构/同态类似。

环的理想​

环R的子环N称为R的一个左(右)理想子环，如果对∀r∈R,rN⊆N(Nr⊆N)\forall r\in R,rN\subseteq N(Nr\subseteq N)如果N即是R的作离休，又是R的右理想，则称N是R的理想。

理想的判定条件：

  1. ∀n1,n2∈N,n1−n2∈N\forall n_1,n_2\in N,n_1-n_2\in N
  2. ∀r∈R,n∈N,rn∈N,nr∈N\forall r\in R,n\in N,rn\in N,nr\in N

设{Hl}l∈I\{H_l\}_{l\in I}是R的理想构成的集族，则∩l∈IHl\cap_{l\in I}H_l是R的理想。

设A是环R的非空子集，则R中所有包含A的理想的交集称为A生成的理想，记作(A)(A)如果A={a}A=\{a\}则(A)=(a)(A)=(a)，如果A={a1,a2,⋯ ,an}A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}则记(A)=(a1,a2,⋯ ,an)(A)=(a_1,a_2,\cdots,a_n)由一个元素a生成的理想称为R的主理想。

体/域中只有两个理想，它们是{0}\{0\}和体/域本身。

极大理想​

如果H是R的真理想，且R不存在真理想N使得H⊊NH\subsetneq N则称H是R的极大理想。

设R是一个有单位元的可换环，H是R的理想，则R/H是域当且仅当H是R的极大理想。

费尔马定理​

设p>2p\gt 2是一个整数，如果存在正整数x，1<x<p1\lt x\lt p使得

  1. xp−1≡1(mod p)x^{p-1}\equiv1(mod\space p)
  2. xi≢1(mod p),i=1,2,⋯ ,p−2x^i\not\equiv1(mod\space p),i=1,2,\cdots,p-2

则p是一个素数。又若p是一个素数，则对任何正整数a有

ap≡a(mod p)a^p\equiv a(mod\space p)